Баштагы функция

Баштагы функция (рус. Первообразная, ингл. Antiderivative) — функция интегралын табу өчен кулланыла торган функция. $f(x)$ функциясенең баштагы функциясе дип, чыгарылмасы $f$ ка тигез булган, $F(x)$ функциясен атыйлар. Ягъни: $F'(x)=f(x)$ . Баштагы функцияне табу билгесез интеграл табудан гыйбәрәт һәм бу процесс интеграл табу дип атала.

Мисал: $~f(x)=x^{2}$ өчен баштагы функция $~F(x)={\frac {x^{3}}{3}}$ була. Константадан чыгарылма нульгә тигез, шуңа күрә гомуми баштагы функция болай күренә: $F(x)=x^{3}/3+C$ биредә $C$ - теләгән сан. Мондый баштагы функцияләрнең графиклары бер-берсенә карата вертикаль буенча күчкәннәр, һәм бу күчеш $C$ даимиенә генә бәйле.

Ньютон-Лейбниц тигезләмәсе буенча баштагы функцияләр аермасы интегралга тигез:

\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).

$f(x)$ функциянең баштагы функцияләре күплеге - билгесез интеграл дип йөртелә, анда чикләр язылмый:

\int f(x)\,dx

Һәрбер баштагы функция $F$ өзлексез функциядән $f$ билгесез интеграл ярдәмендә күрсәтелеп була:

F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt.

Кайбер өзлекле функцияләр баштагы функциягә ия була:

Мисал өчен: $f(x)=2x\sin {\frac {1}{x}}-\cos {\frac {1}{x}}$ : $f(0)=0$ өзлекле $x=0$ , ләкин баштагы функ. $F(x)=x^{2}sin{\frac {1}{x}}$ с $F(0)=0$ бар

Шулай ук элементар функцияләр ярдәмендә күрсәтелеп булмаган баштагы функцияләр бар:

\int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,dx

.

Дәрәҗәле функцияләр

\int k\,dx=kx+C

\int x^{a}\,dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C\qquad {\text{(for }}a\neq -1{\text{)}}\,\!

\int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}\,\!

\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C

гомуми очракта,^[1]

\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}

\int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C

Экспонент функцияләр

\int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C

\int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C

\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C

Логарифмик функцияләр

\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C

\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C

Тригонометрик функцияләр

\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C

\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C

\int \operatorname {tg} {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C

\int \operatorname {ctg} {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C

\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\operatorname {tg} {x}\right|}+C

\int \operatorname {cosec} {x}\,dx=\ln {\left|\operatorname {cosec} {x}-\operatorname {ctg} {x}\right|}+C

\int \sec ^{2}x\,dx=\operatorname {tg} x+C

\int \operatorname {cosec} ^{2}x\,dx=-\operatorname {ctg} x+C

\int \sec {x}\,\operatorname {tg} {x}\,dx=\sec {x}+C

\int \operatorname {cosec} {x}\,\operatorname {ctg} {x}\,dx=-\operatorname {cosec} {x}+C

\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C

\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C

\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\operatorname {tg} x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\operatorname {tg} x|+C

\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx

\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx

Кире тригонометрик функцияләр

\int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq +1

\int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq +1

\int \operatorname {arctg} {x}\,dx=x\operatorname {arctg} {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x

\int \operatorname {arcctg} {x}\,dx=x\operatorname {arcctg} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x

\int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \vert x\,(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,)\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq +1

\int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \vert x\,(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,)\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq +1

Гиперболик функцияләр

\int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C

\int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C

\int \operatorname {th} x\,dx=\ln \operatorname {ch} x+C

\int \operatorname {cth} x\,dx=\ln |\operatorname {sh} x|+C,{\text{ for }}x\neq 0

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\operatorname {arctg} \,(\operatorname {sh} x)+C

\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\operatorname {th} {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0

Кире гиперболик функцияләр

\int \operatorname {arsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,{\text{ for all real }}x

\int \operatorname {arcosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,{\text{ for }}x\geq 1

\int \operatorname {artanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {artanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,1-x^{2}\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert <1

\int \operatorname {arcoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcoth} \,x+{\frac {\ln \left(x^{2}-1\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert >1

\int \operatorname {arsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsech} \,x+\arcsin x+C,{\text{ for }}0<x\leq 1

\int \operatorname {arcsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsch} \,x+\vert \operatorname {arsinh} \,x\vert +C,{\text{ for }}x\neq 0

Катлаулы функцияләр

\int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C

\int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C

\int \cos ax\,\operatorname {ch} bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\operatorname {ch} bx+b\cos ax\,\operatorname {sh} bx\right)+C

\int \sin ax\,\operatorname {ch} bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\operatorname {sh} bx-a\cos ax\,\operatorname {ch} bx\right)+C

В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»
Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1

↑ "Reader Survey: log|x| + C", Tom Leinster, The n-category Café, March 19, 2012