Sferik funktsiälär

Sferik funktsiälär ${\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\varphi )}$ - Laplas operatorınıñ sferik koordinatlarda üz funktsiäläre bulıp toralar.

Laplas tigezlämäse:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0}$

yäki

${\displaystyle \Delta u=0}$

biredä Laplas operatorı:

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+...}$

Ortonormik sistema

${\displaystyle \langle Y_{lm};Y_{lm}\rangle =\iint |Y_{lm}|^{2}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =1}$

${\displaystyle \langle Y_{lm};Y_{l'm'}\rangle =\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }Y_{l'm'}^{*}Y_{lm}\sin {\theta }\,d\theta \,d\varphi =\delta _{ll'}\delta _{mm'}}$,

biredä ${\displaystyle \delta _{ll'}}$ — Kroneker bilgese.

Sferik funktsiälär küreneşe:

${\displaystyle Y_{lm}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{im\varphi }\Theta _{lm}(\theta )}$,

${\displaystyle \Theta _{lm}(\theta )}$ -

${\displaystyle {\frac {1}{\sin {\theta }}}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin {\theta }{\frac {d\Theta _{lm}}{d\theta }}\right)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}{\theta }}}\Theta _{lm}+l(l+1)\Theta _{lm}=0}$

${\displaystyle \Theta _{lm}=(-1)^{m}{\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}P_{l}^{m}(\cos \theta )}$

biredä ${\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}$ — Lejandr küpbuını, ${\displaystyle m!}$ — faktorial.

• Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М.: Мир, 1990. — 720 с.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5 — математические дополнения
• Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М.: Мир, 1993. — 352 с.